大多数人甚至从未听说过的有趣研究领域是什么？

逆向数学。

如果您以前没有听说过这个研究领域，请稍作停顿思考它的含义。你认为逆向数学家关心什么？

只是为了稍微设置一下，这里是“前向数学”：你有一些公理，这是你正在研究的基本真理的花哨词。公理的一个例子是“如果[数学]A[/数学]是一个集合并且[数学]B[/数学]是一个集合，那么就有一个集合[数学]C[/数学]由以下元素组成[数学]A[/数学]和[数学]B[/数学]没有别的。”对于那些听说过集合的“并集”这个词的人，这个公理只是说你可以取集合的并集。或者更简单地说，工会存在。

美好的。

从这样的公理，“前向数学”是从你开始的公理中推导出事物——希望是有趣或有用的事物——的任务。您推导出三角形中的角和为 180 度，或者您推导出每个集合都可以按某种线性顺序排列，等等。这些结论称为定理。

在进入逆向数学之前，我们需要对公理做一个简短的题外话。首先，没有“一组真正的”公理。我可以写下来我的公理，看看数学在什么方面展开我的宇宙，你可以写下您的公理，看看数学在什么方面展开您的宇宙。这些可能是等价的（就它们具有相同的定理而言），也可能不是。

事实上，这可能是一个公理我的系统实际上是一个定理您的系统。例如，我可能有一个公理“每个集合都有一个绿色元素”。你可能有一个公理“每组 100 个或更少的元素都有一个绿色元素。”在我的公理系统中，您的公理是非常简单的定理。但我的公理不一定是你的定理。

当这种情况发生时，他们会说一个公理比另一个公理“弱”或“强”。弱公理是强公理的结果。

那么，什么是逆向数学？它的想法是开始一个定理，然后试图找出你真正需要得到那个定理的公理。这意味着，你对最弱的给你定理的一组公理。

如果您不太了解数学，这听起来可能毫无意义。但如果你在数学道路上走得有点远，你可能听说过巴拿赫-塔斯基悖论.没有进入它所说的，它是（a）所以违反直觉，他们称之为“悖论”，而不是定理；(b) 依赖于称为选择公理的东西。

我不想深入讨论选择公理，但大致上说的是，如果你有一个（不一定是有限的）集合（不一定是有限的）集合，你可以从每个集合中选择一个元素.从表面上看，它可能看起来没有那么有争议，但它是一个显着强公理。如此强大，它为我们提供了我们直觉上认为是矛盾的定理。

所以逆向数学的一个“目标”就是这样的公理。我们可以在多大程度上削弱这个公理，并且仍然得到像 Banach-Tarski 悖论这样的定理？例如，如果我们只允许从不必要的有限集合的有限集合中挑选元素，那么 BT 悖论是否仍然是一个定理？或者来自“可数无限”集合的“可数无限”集合中的元素怎么样？（对于那些不知道的人，事实证明无限集有不同大小，“可数无限”是最小的。）

在使用“逆向数学”一词之前，这些问题是数学家感兴趣的问题，但它们作为该研究领域的模型问题。碰巧，问题像这对于许多定理和许多公理系统都很有趣。

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