为什么学术界的人即使有一个简单但正确的证明，也要寻求严格的证明？

在数学及相关领域，有两个核心原因：

“简单”的证明可能是错误的
找到一个严格的证明将教会我们一些新的东西

直觉可能是错误的第一个原因很重要，因为我们真的不想出错.大多数数学思想都建立在数学中的其他思想之上，如果一个人不成立，整个领域可能会倾覆。

“简单”但不严格的证明的问题在于，我们的直觉很容易完全错误。数学严谨性背后的全部要点——背后的全部要点所有的数学也许——是给我们一种外部方式来检查和挑战我们的直觉。这在某些领域比其他领域更重要（人类发现概率和无穷大非常不直观），但它在任何地方都相关。我们根本不能依靠直觉本身。

这是一个错误证明的例子[数学]\pi = 4[/数学]在社交媒体上反弹。这个想法是，我们可以取一个周长为 4 的正方形来界定一个直径为 1 的圆，去掉它的角以获得一个更接近圆但仍然具有相同周长的形状，然后无限重复这个过程来得到一个圆。

这是我在上面找到的一个稍微有点模因的插图数学SE，最初是从最好的.（如果您看到图表，就更容易理解发生了什么。）

这个证明简单明了明显错误.我们知道这一点，因为我们碰巧知道[数学]\pi\ne 4[/数学]，但如果我们不知道这一点，我们会在哪里？

这里的实际错误非常微妙（看看数学SE一个解释的线程），而我们发现它的唯一方法是尝试使论证变得严谨。更一般地说，只有这样我们才能合理理解[数学]\pi[/数学]它与圈子的关系是通过严格的论证。

严谨的证明教会我们更多我提出的第一个原因对于非数学家来说很容易理解。我的意思是，可能需要举几个例子来了解直觉是如何让我们误入歧途的，但很明显为什么我们不想犯错。（除非你深入研究形而上学或大陆哲学，但我并不在乎。）

但我想说这不是激励数学家的主要因素。我的意思是，它是重要的，数学家比大多数人更重视正确性，但还有其他方法可以知道我们对某事是正确的。

我最近去看了一部关于孪生素数猜想的纪录片。演出结束后，我与一位著名的数论家进行了交谈，他对这样的猜想有一个有趣的看法：我们已经知道它们是真的.我们知道这些猜想和我们所知道的一样成立任何事物在数学之外，以及我们知道明天太阳会升起。我们进行了大量模拟，处理了粒子物理学家羡慕的大量数据，进行了在任何物理科学中都不可行的实验，而这些猜想一直成立。

这是大量的证据，在任何其他情况下都具有压倒性的说服力。几乎所有你在学校里学到的算术以外的事实，出于必要，支持较少.

在数学之外不可能真正存在严格的数学水平。抽象地说，这个级别的事实是在数学中可达到的，并不会使其他证据在绝对意义上变得不那么令人信服。

那么为什么要特意去证明这些基本上已经知道的事情呢？

答案是我们不关心证明只是为了告诉我们猜想是否正确：我们关心一个严格的证明来阐明关于问题的结构.在这种情况下，证明将帮助我们理解数字本身的结构.我们将学习一些全新的东西。一些长期存在的猜想的证明几乎肯定会依赖于根本新颖的想法，因为如果不这样做，那么现在就会有人发现它¹。反过来，这将导致新的抽象、新的探究领域和数学家需要解决的新问题。

在很大程度上，这就是数学的实际进展方式：证明不提供已知问题的二元答案，而是帮助建立对数学的理解结构体数学对象及其行为。数学证明不仅仅是其结论的证据，以至于我们可能根本不关心结论。

这有点难以理解，因为这里的“结构”是一种模糊的概念。当我说这句话时，很难确切地确定我的意思，实际上，它会因领域而异。借用拉姆斯菲尔德的术语，猜想是已知的未知数，而我们更关心发现未知未知数，这就是严格证明的真正作用。很难准确解释这些未知的未知数是-那时它们只是未知的——但你可以明白为什么它们会有趣和重要。

脚注¹ 好吧，这个推理有点可疑。让我想起经济学家的笑话：